Už dávnejšie som sa zamýšľal nad tým, čo je to matematika, ako a prečo vlastne vznikla. Stále som tieto myšlienky odsúval bokom ako menej dôležité a nepodstatné. Občas prišiel problém, s ktorým som si nevedel poradiť - čo je to nekonečno, ako sa prišlo na Ludolfovo číslo, prečo sa musím učiť počítať s komplexnými číslami. A uvedomil som si, že to sú z časti aj filozofické problémy, nielen matematické.
Špeciálne som sa zameral na pochopenie pojmu matematické nekonečno. Z dejín matematiky sa dá odpozorovať, že historický prelom v matematickom myslení nastáva často pri vzniku paradoxov v chybnej teórii a následnom nájdení správneho riešenia. V texte priebežne poukazujem na zmeny v chápaní pojmu matematické nekonečno a na to, čo tieto zmeny priniesli nového. Pokúsim sa aj ľudsky vysvetliť, čo je to matematické nekonečno a aký je rozdiel medzi potenciálnym nekonečnom a absolútnym nekonečnom. Ale len postupne, v priebehu celého textu.
PhDr. Peter Nezník, CSc. ako
prednášajúci predmetu Dejiny
filozofie ma inšpiroval k tomu, že
som sa začal podstatne dôkladnejšie venovať mojím predošlým úvahám. A ako
dobrý konzultant mi hodne pomohol nájsť otázky, na ktoré mám hľadať odpovede.
Tento text je súčasne aj nutnou časťou môjho štúdia. Ďalej by som chcel
upozorniť na to, že nepodávam úplný ani objektívny pohľad na dejiny matematiky
a filozofie. Je to len súbor myšlienok a historických faktov z dostupnej
literatúry, prepletený mojím subjektívnym komentárom. Modrou
farbou uvádzam myšlienky a výroky mysliteľov
interpretované mnou alebou inými zdrojmi.
Teoretické vysvetlenie:
Ide o minimálnu úplnú algebrickú štruktúru použiteľnú
na primitívne určenie počtu. Algebrickú štruktúru chápem ako množinu prvkov
a operácií s prvkami. Nejaký systém je úplný práve vtedy, keď akýkoľvek
výraz (výrok, výroková forma, veta) vytvorený z jej symbolov je z tejto
štruktúry odvoditeľný, čiže je dokázateľné, že výraz je buď pravdivý alebo
nepravdivý. V tomto prípade to znamená, že pomocou tejto štruktúry sa dá
vyjadriť akýkoľvek počet reálne použiteľný. Minimálna úplná je taká, že
nemožno vynechať ani jeden jej prvok alebo operáciu, lebo by táto štruktúra
už nebola úplnou. Prvok nič
je potrebný na označenie prázdneho počtu, inak sa prázdny počet nedá vyjadriť.
Prvok jeden
je potrebný na označenie jednotkového počtu. Jeden
by sa dal vyjadriť aj ako nasledovník nuly,
ale takáto formulácia je príliš zložitá pre primitívneho človeka, ktorý
nevie, čo je to nula
(nula
nie je to isté ako nič,
nula je
iba označením prázdneho počtu, ničoho),
nula je
číslo a ľudia ešte nepoznali čísla, iba počet. Prvok dva
je súčasne aj operáciou nasledovníka prvku jeden.
Teraz už možno vytvoriť akýkoľvek reálny počet, napr. tri
je nasledovník po dvojke,
od ktorej som odobral jednotku,
(1+1)+1=2+1=3. Ostal ešte menej jasný prvok veľa
označujúci počet väčší ako jeden,
aj ako dva,
ale neviem presne koľko. Dôvod je prostý - primitívny človek nevie počítať,
vie iba porovnávať. Prvok veľa
je aj prvým spôsobom označenia nekonečného počtu. Jedinou unárnou operáciou
je nasledovník, inak vyjadrený prvkom dva.
Binárnymi operáciami s prvkami nič,
jeden,
dva pravdepodobne
boli sčítanie a odčítanie, ale iba názorným spôsobom (tak, že k časti pridám
ďalšiu časť, alebo od celku odoberiem jeho časť). Výsledkom operácie odčítania
môže byť zostatok (dnes kladné celé číslo) alebo nič (dnes nula). Záporný
počet nie je možný, možné je iba vyjadrenie, že chýba. Určite aj v dávnej
minulosti bola potreba násobiť a deliť, ale tieto operácie sú len operáciami
zloženými zo sčítania a odčítania, napr. 3x3=9, pretože 3+3+3=9, alebo
6/2=3, pretože 6-2-2-2=0. Zložitejšie operácie si už len veľmi ťažko dokážem
predstaviť.
Môže sa zdať, že sa zaoberám banalitami. Nie je to tak. Toto podrobné vysvetlenie je potrebné na pochopenie myslenia človeka dávnej doby a na pochopenie ďalšieho vývoja matematiky.
Ešte sa vynára jedna dôležitá súvislosť medzi touto dávnou minulosťou a súčasnosťou. Nejakým podobným, ale veľmi blízko podobným spôsobom sa dnes tvorí časť informatiky, fuzzy logika pre prirodzené počty. Je pravdou, že v dejinách sa vynárajú tie isté myšlienky, slová a skutky, ale vždy v inom svetle, v inej forme?
Odhaduje sa, že Sumeri boli na počiatku abstraktného myslenia, ako prví chápali matematiku formálne. Teda matematika nebola už len počtom reálnych vecí, ale abstraktným prostriedkom k počítaniu počtu vecí. Počítať vedeli aj myslené veci, ktoré nebolo nutne treba vidieť.
Ohromný pokrok - oddeliť počet vecí od vecí samotných - te je prvý krok vo vývoji matematiky.
K jednoduchému počítaniu Sumeri pridali meranie množstva v akéjkoľvek použiteľnej forme, teda napr. množstvo vody previedli na počet nádob naplnených vodou. A počet nádob označili číslom, dnešným prirodzeným číslom.
Formálna matematika má už asi 5 až 8 tisíc rokov. Určite to súvisí aj
s historickým vývojom ľudskej spoločnosti - toto bola doba bronzová a železná,
rozvoj remeselníctva, poľnohospodárstva, obchodu a politiky. Sumeri vynašli
písmo, koleso, stavebníctvo.
1.1 Algoritmické myslenie
Človek žije v čase. Človek má pamäť a schopnosť učiť sa. Aké môže mať
stratégie poznávania? Myslím, že tieto okrem iných mal vtedy a má ich aj
teraz:
- poznávanie časovo-priestorových súvislostí
- myšlienkové spájanie podobných javov
- zasahovanie do diania okolo seba na základe napodobňovania
Udalosti, rozhodujúcim spôsobom určujúce život kmeňa primitívneho človeka (neskôr spoločenstva ľudí), boli postupne ritualizované. Rituály získali magickú silu. A učili človeka vytvárať postup. Naučiteľný postup vykonávania nejakej činnosti je základom dnešného intuitívneho pojmu algoritmus. Všimnime si, že obdobou rituálu u detí je hra. Vykonávajú opakovane tie isté činnosti, kým nenadobudnú rutinu a súčasne majú z toho radosť, zábavu. To je ich hra.
Tu sa zastavím. Podobnosť s vývojom dieťaťa som
spomenul zámerne. V dejinách filozofie sa v rôznych obmenách viackrát vyskytla
myšlienka, že nacházanie nových poznatkov je len spomínanie si na
minulosť. V súvislosti s dieťaťom to chápem nasledovne. Dieťa, keď sa učí,
tak svojím myslením prechádza celú históriu ľudstva, so všetkými poznatkami,
ktoré boli vynájdené, objavené. Naučiť sa niečo, čo autorovi pôvodne trvalo
celý život, dieťaťu trvá povedzme jednu hodinu. Samozrejme, nie je to dokonalé
poznanie, pochopenie problému v celej hĺbke, ale len také, aké je nevyhnutne
potrebné pre neskorší život a učenie.
1.2 Metafyzika a metamatematika
Ešte viac odbočím od témy a pristavím sa u metafyziky. Myšlienka, že nachádzanie nových poznatkov je len spomínanie si na minulosť, ma vedie k existencii akejsi univerzálnej, všeobecnej, všeobjímajúcej mysle alebo aspoň pamäti. Je to možné? Súčasná fyzika to nepripúšťa. Možno tak ešte metafyzika, presnejšie súbor filozofických názorov týkajúcich sa pôvodu, vzniku a existencie sveta a všetkých vecí, aj ľudí. Metafyzicky, to nové, o čom hovorím, by som nazval informačným energetickým poľom, aby to zapadlo do štruktúry teórie o energii vo fyzike.
Priznávam, nasledujúci dlhý odstavec je pre nefyzikov ťažko pochopiteľný až nezrozumiteľný. Možno ho preskočiť, nie je v tomto texte podstatný, je to iba môj nápad podobajúci sa fantázii.
V literatúre možno nájsť rozdelenie hmoty na dve jej formy (látku a pole). Toto rozdelenie považujem za nesprávne. Iná literatúra uvádza rozdelenie energie na dve formy (hmotu a pole), s čím aj ja súhlasím. Oba názory hovoria v podstate to isté, ale používajú odlišné pojmy. Aby som objasnil problém - myslím si, že energia je všeobecnejší, nadradenejší pojem ako hmota. Hmota sa prejavuje svojou charakteristickou vlastnosťou, hmotnosťou. Hmota je však abstraktný pojem, jej konkrétna podoba je látka. Pole nemá hmotnosť, preto nemôže byť hmotou. Po pridaní môjho informačného poľa do fyziky má energia dve formy (hmota a pole), pole možno rozdeliť na gravitačné, elektromagnetické a informačné. Gravitačné a elektromagnetické polia sa prejavujú silovými účinkami prostredníctvom hmotných telies. Preto sa označujú niekedy ako silové energetické polia. Moje informačné energetické pole, ako forma energie, sa zatiaľ neprejavuje silovými účinkami. Jeho úlohou je uchovávať a prenášať informácie. Ak je to skutočne tak, potom musí existovať prevod medzi matematickou jednotkou informácie [b=bit] a fyzikálnou jednotkou energie [J=joule]. Podobne existuje vzťah medzi jednotkou hmotnosti [kg=kilogram] a jednotkou energie [J=joule] cez mechanickú prácu, mechanickú energiu. A podobne existuje vzťah medzi jednotkou elektrického náboja [C=coulomb] a jednotkou energie [J=joule] cez energiu elektrostatického poľa. Alebo vzťah medzi jednotkou magnetického toku [Wb=webber] a jednotkou energie [J=joule] cez prácu vykonanú zmenou pohybu elektrického náboja, ktorý vyvolá zmenu indukčného toku. Matematicko-informatická definícia hovorí, že 1 bit je informácia znižujúca entropiu (neurčitosť) nejakého systému na polovicu. Neurčitosťou sa tu rozumie nevedomosť o stave celkového počtu elementárnych častíc systému. Fyzika (termodynamika) pozná entropiu ako funkciu pravdepodobnosti termodynamického stavu látky. Entropiu látky možno vypočítať zo zmeny stavových veličín látky (teplota, tlak) pri dodanom teple. Teda máme prevod tepelnej energie látky v jednotkách [J=joule] na entropiu látky v jednotkách [kJ kg-1 K-1] alebo [kJ kmol-1 K-1]. Matematicko-informaticky má entropia jednotku [b=bit]. Zatiaľ nepoznám prevod medzi týmito dvoma vyjadreniami entropie. Ako som už spomenul, hmota je abstraktný pojem, je to hocijaká konkrétna látka rozložená na elementárne častice (ak sa to dá). Energiu vyjadrenú fyzikálno-chemickými vlastnosťami (termodynamický stav, fyzikálna a chemická štruktúra) teraz neuvažujme. Ostane čistá hmota charakterizovaná iba hmotnosťou [kg=kilogram] a už žiadnou inou vlastnosťou. A práve iba čistú hmotnosť by som rád previedol na množstvo informácie, ktoré hmota prestavuje. Potom, keď to fyzika dokáže urobiť, ostáva už len správne určiť konštantu, dávajúcu vzťah medzi [kg] a [bit], spravidla experimentálne.Vyhlásil som, že informácia je formou energie. To je odvážne tvrdenie. Aby to bolo možné potvrdiť, treba nájsť vlastnosť informačného poľa, ktorou sa navonok prejavuje. Čo keby to bola predsa len sila? Bolo by možné vysvetliť zatiaľ neoveriteľné pokusy s telekinézou, telepatiou? Ako je možné, že niektoré objavy sa uskutočnili na rôznych miestach súčasne a nevedome? Ako si vysvetliť predtuchy a intuíciu? Ak by sa informačné pole prejavovalo silovými účinkami, potom by určite bola možná transformácia energie informačnej na inú (gravitačnú, elektromagnetickú) a spätná transformácia akéjkoľvek inej energie na informačnú. Pripomínam, že sa prekrývajú pojmy gravitačná a mechanická energia (v oboch vystupuje ako parameter hmotnosť). Predstavte si, že by bolo možné spotrebovaním nejakého množstva informácií uviesť hmotné teleso do pohybu alebo zakúriť v izbe. Alebo si v obchode kúpiť elektrický spotrebič, ktorý bude produkovať informácie. Nemožné? Myslím, že ani nie, ja si to viem predstaviť. Ale má to jednú chybu. Zo všetkých indícií svedčiacich o existencii informačného energetického poľa nemožno vybrať ani jednu, ktorá by potvrdzovala závislosť na vzdialenosti medzi miestami prenosu informácie, ako je to podobne u gravitačného alebo elektromagnetického poľa. To by vylučovalo silové účinky informačného poľa. Okrem všetkých čudných vysvetlení je ešte jedno najčudnejšie - že existuje navyše ďalšie pole, ktoré tvorí s informačným poľom jednotu, jednotu vo filozofickom zmysle jednoty protikladov. Alebo aj trocha menej čudné vysvetlenie, že náš svet má aj viac priestorových rozmerov ako tri a jeden časový.
Teraz sa vrátim sa na začiatok, ku pojmom metafyzika a metamatematika. Existuje nejaká univerzálna, všeobecná, všeobjímajúca myseľ, alebo pamäť? Skúsme porovnať čisto metafyzicky, čo ponúka filozofia.
Staroveká India:
Brahma je tvoriacim princípom sveta, veľkou
dušou sveta, je to, čo bolo na počiatku a stvorilo bohov. Átman
je dychom, podstatou seba, ľudským Ja. Posmrtné sťahovanie duší je utrpením.
Spasenie, vyslobodenie je v poznaní "ja, átman, som brahma", individuálna
existencia zaniká vo veľkej duši sveta, v božskej múdrosti.
Staroveká Čína:
Tao je cesta, rozum, zákon, prazáklad,
večnosť.
Staroveké Grécko:
Apeiron, Idey - prazáklad sveta,
aj keď viac materiálny ako duchovný.
Kresťanstvo:
Boh v postave ducha dáva život,
je všadeprítomný a večný. Duša prebýva vo mne, v mojom tele. Viera
v posmrtný život duší predpokladá istý metafyzický priestor, kde tie duše
po smrti človeka prežívajú.
Vidíme, že sa o tom uvažuje od pradávna. Ale prečo o tom všetkom hovorím a ešte tak dlho? Ide mi o metafyziku. Na jednej strane si ľudia nevedeli hodne vecí vysvetliť racionálne a potom hľadali nadprirodzené riešenia. A na druhej strane ľudí zaujíma, čo bolo na počiatku a ako svet vznikol. Otázky typu prečo svet vznikol, kto som, kam idem, ma momentálne nezaujímajú, nie sú metafyzické. Dejiny filozofie podrobne popisujú metafyziku od rôznych mysliteľov, akoby to bola najpodstatnejšia informácia zanechaná filozofmi. Zabúda sa poukázať na moment, kedy metafyzika prechádza do metamatematiky.
Zjednodušene povedané pre účel tohto textu - metafyzika je o reálnom svete a metamatematika je o abstraktnom svete. Metafyzika bola potrebná na to, aby sa dal vysvetliť vznik a existencia reálnych vecí. Metamatematika vysvetľovala vznik a existenciu abstraktných vecí. Časť slova meta znamená hranicu, hranicu poznania a poznávania bežným spúsobom. Keď sa hovorí o metafyzike, hovorí sa o fyzike za hranicou bežného poznania, poznávania, pozorovania reálneho sveta. Metamatematika hovorí o matematike za hranicou bežného poznania a chápania abstraktných vecí. V stredoveku sa metafyzika a metamatematika vyvýjala pod vplyvom teológie, citeľná je potreba prítomnosti boha pre poznanie človeka. Teda ide o ontologický prísup k svetu - o vzniku, stvorení, bytí a jestvovaní.
Modernou metafyzikou sa posúvame z fyziky do nepreskúmanej oblasti, do oblasti hypotéz, ale zároveň do oblasti, kde vládnu prísne logické úvahy pokúšajúce sa vysvetliť reálny svet alebo spojiť kapitoly fyziky do jednej veľkej teórie. Modernou metamatematikou sa rozumie súbor slovných (syntaktických a semantických), logických, odvodzovacích pravidiel a elementárnych poznatkov z celej matematiky, o ktorých matematika nehovorí, ale predpokladá sa, že sú každému známe a jasné. V dnešnej metamatematike je napríklad pojem bod, ktorý je definovaný Euklidom, ďalej sú tam logické spojky a symboly ako napríklad konjunkcia (a), disjunkcia (alebo), implikácia (keď-potom), ekvivalencia (práve vtedy, keď), negácia, zátvorky, čiarka, dvojbodka, bodkočiarka. Ide o metajazyk matematiky. Takisto fakt, že 1+1=2, patrí do dnešnej metamatematiky. Novodobá kapitola matematiky, teória mnočín a matematická logika sa pokúša vniesť do matematiky poriadok a vytláča metamatematiku na okraj, kde jej hlavnou úlohou je vysvetľovať vznik a existenciu abstraktných matematických pojmov (napr. množina). A to, čo novodobá matematika pohltila z metamatematiky sa označuje správne ako metajazyk matematiky. Naďalej platí, že fyzika a metafyzika hovorí skôr o reálnych veciach, matematika a metamatematika hovorí skôr o abstraktných veciach.
Na počiatku bol Sumer, ako hovorí Vojtech Zamarovský [2].
Skutočne, na počiatku abstraktného myslenia boli Sumeri. Oddelili počet od vecí samotných, teda vytvorili číslo. U Sumerov sa o pôvode čísla buď neuvažovalo vôbec a abstraktné myslenie tak u nich nemalo pevný základ, alebo o pôvode čísla uvažovali metafyzicky, rovnako ako o hmotných veciach. Bolo treba vytvoriť čísla. Metafyzické číslo 1 je jeden kameň alebo jeden zárez na dreve. Číslo 2 sú dva kamene alebo zárezy. Hop, po odmyslení hmotnej povahy čísla 1 už máme metamatematický základ - abstraktné číslo 1. Zárez na dreve je symbol, s ktorým možno narábať bez ohľadu na to, že je na dreve. Číslo 1 je metamatematickým základom všetkého abstraktného, samozrejme okrem prázdna, ničoho.
Číslo sa stalo symbolom označujúcim počet vecí - druhý dôležitý krok vo vývoji matematiky.
Boli na svete symboly, znaky. Sumeri vytvorili
písmo (asýrsko-babylonské písmo malo 642 znakov) , povýšili znaky nad reálne
veci. Keď existuje počítanie, číslo, písmo, potom je logické, aby sa výpočty
zapisovali. Skutočne, archeológovia poznajú približne 4500 rokov
staré záznamy (alebo zmienky) o matematických zápisoch.
1.3 Geometria
Aj učenie je istým algoritmom. Ten sa s vývojom ľudstva postupne mení, zlepšuje sa v množstve naučiteľných informácií, aj v rýchlosti učenia.
Algoritmické myslenie sa rozvíjalo tým viac, čím viac sa rozvíjalo hospodárstvo
a obchod. Bolo treba vedieť vypočítať plochu alebo objem rôznych predmetov,
plochy pozemkov. A práve plochy a objemy sa v Číne, Babylone, Egypte počítali
odhadom a vopred naučeným postupom. Niekto raz prišiel na to, akým spôsobom
zistiť plochu alebo objem konkrétneho predmetu s pomocou vedomosti o ploche
alebo objeme malého, jednoduchého, základného predmetu. Dospel ku postupu
výpočtu, nie ku vzorcu. Matematika Mezopotámie a Egypta bola súborom mnohých
postupov počítania pre štátnych úradníkov.
Na viacerých miestach sveta (Čína, Egypt, Babylon) sa objavil základný poznatok geometrie, že úsečka, teda časť priamky je najkratšou spojnicou dvoch bodov. Možno to bol aj nevyhnutný predpoklad toho, že sa ľudia naučili konštruovať pravidlá pre výpočet plôch a objemov. V Mezopotámii a v Číne bol už dávno pred Pythagorom známy príklad celočíselného riešenia Pythagorovej vety o pravouhlom trojuholníku (strany s dĺžkou 3, 4, 5 tvoria pravouhlý trojuholník).
Takto vznikla geometria. Ako aplikácia, použitie matematických poznatkov
v živote. Vtedy išlo výlučne o rozmerové, priestorové poznatky, preto sa
hovorí o geometrii, náuke o meraní zemského povrchu.
Táles z Milétu (asi -624 až asi -547) sa zaoberal geometriou, meral výšky lodí na mori, meral výšku egyptských pyramíd. Známy je vďaka svojej "Tálesovej vete o kružnici".
Pýthagorás (asi -574 až asi -500) sa takisto zaoberal geometriou. Jeho meno poznáme z "Pýthagorovej vety o trojuholníku", dnes zapisovanú vzťahom a2+b2=c2. Jeho najväčšia zásluha v matematike je náuka o číslach v desiatkovej sústave. Nehľadal metafyzickú pralátku, ale metamatematický prazákon. Pre neho je základom všetkého číslo, ktoré až mystifikoval. Číslam od 1 do 10 priradil rôzne vlastnosti. Vo všetkom hľadal súvislosti s číslami, skladal číselné vzťahy. Od Pýthagora a jeho žiakov sa delí matematika na čistú matematiku a na aplikovanú matematiku.
Zenón z Eley:
V literatúre sa spomínajú jeho dôkazy o nepohybe:
1. V súťaži Achilla s korytnačkou, pri ktorom má korytnačka akýkoľvek malý náskok, Achilles ju nemôže dobehnúť. Lebo kým sa Achilles dostane do bodu A, v ktorom bola bezprostredne pred ním korytnačka, sa korytnačka dostane do ďalšieho bodu B atď. Achilles teda môže náskok zmenšiť, ale nemôže korytnačku dobehnúť.
Vysvetlenie:
Zjavne je tento dôkaz podľa dnešných poznatkov
chybný. Zenón, aby to fungovalo, rozdelil tento pohyb do nekonečne veľa
úsekov A->B, čo je nekonečný počet. Tento počet je nekonečný v zmysle,
že stále môžem pridať ďalší úsek a nevidím na koniec vytvoreného radu úsekov,
teda ide o potenciálne nekonečno. Každý takýto úsek je však zákonite nekonečne
krátky (vzdialenosťou), aby sa všetky úseky vtesnali do dráhy prejdenej
korytnačkou a Achillom, ktorá je v skutočnosti konečnej dĺžky. Zenón na
to zabúda a spočítava úseky, akoby boli bežnej dĺžky, teda súčtom je podľa
neho potenciálne nekonečno. Nevedel, že vo fyzike je nutné dráhu alebo
čas diferencovať súčasne v počte úsekov aj v dĺžke úsekov. Fyzikálne správne
je dráhu alebo čas vidieť ako aktuálne nekonečno, úsekov je nekonečne veľa,
ale sú súčasne nekonečne malé. Celý úsek vidím, mám ho aktuálne pred očami,
ale nemám predstavu o jeho hĺbke, hustote čiastkových úsekov. To je aktuálne
nekonečno.
Dnes by sme to riešili asi takto:
Ide o dva rovnomerné pohyby s rôznymi rýchlosťami.
Za rovnaký čas sa prejdú rôzne dráhy. Vieme, že v1=ds1/dt,
v2=ds2/dt.
Sčítanie nekonečne veľa nekonečne krátkych častí prejdených dráh s1,
s2
sa vykoná integrovaním. Po integrovaní porovnáme rovnice pomocou rovnakého
času a dostaneme, že prejdená Achillova dráha, teda miesto dobehnutia korytnačky
Achillom je s1=s0v1/(v1-v2),
kde s0 je náskok korytnačky pred Achillom. Úlohu tu zohráva
diferenciálny a integrálny počet, ktorý s nekonečnom zachádza korektne.
2. Podobne rozoberme Zenónov dôkaz nepohybu letetiaceho šípu. Letiaci šíp pozorovaný v ľubovoľnom momente svojho letu sa nachádza na určitom mieste v priestore, kde je práve v kľude. Potom je v kľude i v celom čase, čo znamená, že sa letiaci šíp nepohybuje.
Vysvetlenie:
Zenón rozdelil pohyb do nekonečne veľa časových
úsekov nulovej dĺžky, preto sa mu v každej polohe javí šíp, akoby bol v
kľude. Nevedel, že vo fyzike treba dráhu a čas diferencovať súčasne v počte
úsekov a dĺžke úsekov, ako to správne robí diferenciálny a integrálny počet,
teda ds/dt=v, pričom rýchlosť v pohybu je konštantná a nenulová.
Diferenciálny a integrálny počet zdôrazňuje, že diferenciály ds,
dt
sú nenulové.
Dá sa predpokladať, že Zenón nebol vážne presvedčený o tom, čo vo svojich dôkazoch tvrdil. Cieľ jeho dôkazov bol iný, chcel ukázať, že vhodnou argumentáciou môže vyvrátiť čokoľvek. Ako argument použil matematiku, konkrétne matematické nekonečno, ale nesprávne ho pochopil. To, že to bolo možné, poukazuje na fakt, že pojem matematické nekonečno nebol v starovekom Grécku dobre definovaný a ľudia mali len hmlistú intuitívnu predstavu o nekonečne. Zenón pripustil existenciu iba potenciálneho nekonečna, nepoznal aktuálne nekonečno.
Zenón chcel povedať, že filozofické poňatie pohybu je v akomsi rozpore samo so sebou, a to je dôvod, prečo nemožno pohyb matematicky zachytiť. Dnes je jeho uvažovanie pochopiteľné, pretože pojem pohyb bol správne pochopený až v novoveku Galileom. Zenónove dôkazy sa pokúšal vyvrátiť už Aristoteles, ale iba bežným ľudským poznaním, tým že pohyb existuje, teda neúspešne. Dlho po ňom sa radšej do vyvrátenia Zenónových dôkazov nikto nepúšal, aby sa vyhol posmechu od ostatných za to, že sa mu to nepodarilo. Zenónove dôkazy možno považovať za druh matematických paradoxov - podľa používanej teórie sú možné 2 alebo viac odporujúcich si tvrdení. Možno ich vyvrátiť (alebo vysvetliť) jedine matematicky z nadhľadu.
Hippokrates z Chiu (-5. stor.) žil vo svete geometrie, zaujímali ho kruhy a kruhové útvary.
Sokrates (asi
-470 až asi -400):
Viem, kadiaľ cesta nevedie, ale neviem, kadiaľ
vedie. Viem, čo neviem. Neviem, čo chcem vedieť.
Asi takto Sokrates vedie svoj dialóg buď sám so sebou alebo aj s ostatnými
a premýšľa. Jeho poznanie je skutočne čisté, priblížil sa k pravde. Zamýšľa
sa hlavne nad podstatou matematiky.
Matematika sa zaoberá číslami samými, nie len
počtom predmetov, ktorý predstavujú. Tiež sa zaoberá geometrickými útvarmi
samými, nie len útvarmi, ktoré sú predmetmi. Matematika neskúma existujúce
veci, ale iba myslené. V matematike možno získať absolútne presné výsledky
a nezvratné poznatky, na rozdiel od reálneho sveta. Matematika sa zaoberá
vecami, ktoré nie sú, ale nám umožňuje dozvedieť sa o nich nepopierateľnú
pravdu. Zaoberá sa obrazmi skutočnosti v myšlienkach. V matematike je pravda
nezávislá na ľuďoch a na ich myšlienkach. Matematický pojem je oveľa jasnejší
a jednoduchší než akákoľvek skutočná vec.
Platón (-427
až -347) ako prvý použil pojem pravdepodobnosť. Ale viac ho nerozvíjal.
Vzťah, aký má vznik k bytiu, nachádzam i medzi
premýšľaním a pravdou.
Aristoteles (-384 až -322) je filozofom s myšlienkami protikladnými k metafyzickému idealizmu Platóna. V matemetike má veľmi dôležitú úlohu. Je tvorcom logiky, zaviedol premenné symboly, logickú formu, dvojhodnotovú logiku, dôkaz tvrdení. Aj v ostatnom živote uvažoval matematicky, dialekticky.
Archimédes zo Syrakúz (asi
-287 až asi -212) staval na tom, čo jeho predchodcovia vytvorili a dal
matematike teoretické základy. Ako jeden z mnohých v poradí sa priblížil
k pojmu nekonečno, definoval prirodzené číslo. A navyše dal základ
ku vzniku diferenciálneho a integrálneho počtu od Newtona a Leibniza
- výpočtom plochy ohraničenej krivkami. Vo svojích prácach hovorí najčastejšie
o aplikáciách matematiky:
Aby si matematiku mohol s úspechom aplikovať,
musíš jej hlboko rozumieť. Aplikovanie matematiky môže niekedy pomôcť v
dôkaze, objavovaní teórie matematiky.
Toto povedal Archimedes ako fyzik, keď mal na
mysli páku: Dajte mi pevný bod a pohnem Zemou!
A
ako matematik ďalej vysvetľuje: Žiadne také
pevné body v skutočnosti neexistujú. V matematike sú namiesto pevných bodov
axiómy a namiesto páky je logika.
Eukleides
(-3. stor.) sa zaoberal logikou, spolu s Archimedom zaviedol axiómy, vytvoril
matematický postup dedukciou.
O Eukleidovi sa hovorí táto historka:
Jeden z jeho žiakov sa ho vraj opýtal, čo učením
získa. Eukleides sa rozčúlil, pokrikoval na okoloidúcich, aby mu zaplatili
za to, že sa učí, nech z toho konečne niečo má.
Eratosthenes z Kyrény
(asi -275 až asi -195):
Jeho meno je dnes známe vďaka algoritmu na vyhľadávanie
prvočísel, dnes Eratosthenovo sito.
Klaudios Ptolemaios z Alexandrie
(100 - 178) bol význačným astronómom, zaviedol geocentrickú sústavu, model
vesmíru, používaný od staroveku, cez stredovek až do novoveku, kedy Koperník
tvrdil niečo iné.
Avicenna (Abú Alí Ibn Síná) (980 - 1037) je považovaný za najväčšieho filozofa arabského Východu, aristotelika v období scholastiky.
Poznatky o stredovekej Ázii prichádzali do Európy iba veľmi zriedka a ťažko, sprostredkovane od kupcov a moreplavcov. Vývoj matematiky v Ázii v porovnaní s arabským Východom a Európou zaostával.
Roger Bacon scholastik
(asi 1214 - asi 1294) tvrdil, že experiment môže priniesť viac ako len
slovné úvahy. Kvôli svojmu názoru musel trpieť prenasledovaním od cirkvi.
Mikuláš Koperník (1473 - 1543) bol kľúčovou postavou vo vede. Zaviedol heliocentrickú sústavu, model vesmíru, ktorý je s malými zmenami platný dodnes. Na svet fyziky, astronómie sa pozeral očami geometrie. Možno povedať, že jeho objavom definitívne končí stredovek, aj napriek tomu, že ľudia a cirkev sa novému mysleniu dlho (až do 20. storočia) bránili.
Francis Bacon (1561 - 1626) hovoril, že prírodné zákony sú jasné, jednoduché, ľahko čitateľné. Príroda je ale zakódovaná, treba poznať ten správny jazyk. Svet môže byť istým druhom kryptogramu, hranice nie sú tvorené ľudským jazykom, rečou. Hlásal, že úlohou človeka a vedy je vládnuť nad prírodou, čo pomohlo rozvoju experimentálnej prírodovedy. Je teda stúpencom materializmu, empirizmu a presadzoval vo vede experiment ako metódu na overenie poznatkov.
Galileo Galilei (1564 - 1642) sa
ako fyzik a astronóm chytil Koperníkovho modelu vesmíru a pokračoval v
bádaní. Zaujímali ho aj náhodné procesy a chyby pozorovania vo fyzike.
Galilei je pôvodcom názoru, že fyzika je vedou presnosti. Na astronómiu
sa pozeral ako na geometrickú formu výkladu. U Galileiho sa geometria stala
skutočným jazykom na vyjadrenie fyzikálnych zákonitostí. V celku mal na
prírodné javy deterministický mechanický pohľad. Podľa neho sú fyzika a
astronómia aplikovanou matematikou.
Neexistuje absolútne poznanie, iba postupné približovanie
poznatkov ku skutočným princípom. Filozofia sveta je obsiahnutá v grandióznej
knihe prírody, stále otvorenej všetkým. Je napísaná jazykom matematiky.
Sú učitelia, ktorí sa snažia vyučovať matematiku
učením poučiek spamäti a mechanickým počítaním. Také učenie nemá vôbec
zmysel. Dobrý učiteľ by si mal so žiakom dokonale rozumieť, mal by ho naučiť
myslieť.Ten, kto miesto toho, aby myslel, počíta, počíta často príliš zložito,
nenapadne ho, že sa opiera o celkom nadbytočné postupy. A tak, i keď je
napríklad jeho výpočet správny, nie je skutočným prínosom.
Johannes Kepler (1571 - 1630) pokračoval v rozvíjaní Koperníkovho modelu vesmíru a dal mu presný matematický princíp.
René Descartes (1596-1650) ako predstaviteľ
racionalizmu v 17. storočí pozdvihol rozum do základného princípu autonómnej
filozofie. V spôsobe myslenia zaviedol rozumové axiómy matematickej povahy.
Myslím, teda som.
To je prvotná istota každého uvažovania. Intuícia,
najvyšší filozofický princíp podopiera neotrasiteľnosť istoty vlastného
myslenia. Všetky veci, ktoré pochopíme veľmi jasne a zreteľne, sú pravdivé.
V
jeho spôsobe uvažovania napriek uvedenému vystupuje do popredia črta nazvaná
metodickou
skepsou, ktorá hovorí, že výsledky a myšlienky sú nevierohodné, nesprávne,
ak nie sú úple dokázané.
Diela zložené z viacerých častí a zostavené rukou
rôznych majstrov nie sú také dokonalé ako tie, na ktorých pracoval len
jeden.
Na prírodné javy mal podobne ako Galilei deterministický
mechanický pohľad.
Všetky výskumy smerujúce ku skúmaniu poradia
a miery prináležia metematike. Mieru tu treba
rozumieť ako veľkosť, počet, teda základnú číslovku (kardinálne číslo).
Poradie je vyjadrené poradovou číslovkou (ordinálne číslo). Tie oba patria
do matematiky, spomínajú sa okrem iného aj v teórii množín. Pokúsil sa
o zlúčenie algebry a geometrie na analytickú geometriu a podarilo sa mu
to.
Pierre Fermat
(asi 1601 - asi 1660), Blais Pascal
(1623 - 1662) inšpirovaní základnými pozorovaniami v Číne a neskôr v Ríme,
podľa práce Galilea rozpracovali presné základy zákonistí náhodných javov
a základy kombinatoriky.
Toto nové učenie teda zjednocuje presnosť matematických
dôkazov s neurčitosťou našich pokusov a zmieruje tým veci zdanlivo nesúrodé.
Nenávidím neúplné úsudky. Nenávidím ich preto, že sú slepo zamieňané za
istotu. Presnosť prakticky nemožno neobmedzene zväčšovať, iba teoreticky.
Sú rodenými racionalistami, matematikmi a fyzikmi.
Mojím vyznaním je viera, že človek sa rodí preto,
aby užíval rozum. Lebo schopnosť myslieť ho odlišuje od ostatných tvorov,
v myslení tkvie jeho podstata ľudskosti. Myšlienky nám ako jediným tvorom
odkazujú, že nás obklopuje dvojité nekonečno. Z jednej strany nekonečnosť
priestoru, v ktorom nie len my, ale i Zem a celá slnečná sústava sú iba
kvapkami v mori, z druhej strany poznávame nekonečnú zložitosť sveta, v
ktorom každá kvapka morskej vody je sama o sebe celým vesmírom. Zmietame
sa tak medzi svetom nekonečne malým a nekonečne veľkým. Tu
je pochopenie matematického nekonečna. Na základe týchto poznatkov mohol
vzniknúť infinitezimálny počet (limity), diferenciálny a integrálny počet.
A už len spomeniem, že spolu s Descartom sa venovali
analytickej geometrii, pomohli základom matematickej analýzy prácou o maxime
a minime.
Isaac Newton (1643 - 1727) bol asi najvýznamnejším fyzikom novoveku, úplne spracoval teóriu klasickej fyziky. Spolu s ostatnými prispel aj on ku základom matematickej analýzy, ktorú vypracoval neskôr Leibniz.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) pozbieral všetky dostupné poznatky a postavil matematickú analýzu, akú používame aj my dnes. Na matematickú analýzu úzko nadväzuje diferenciálny počet, ktorého bol tiež spoluatorom.
Pierre Laplace
(1749 - 1827):
Po Fermatovi a Pascalovi sa ujal teórie náhodných
javov a rozvinul ju na teóriu pravdepodobnosti. Venoval sa aj diskrétnej
aj spojitej matematike.
Lobačevskij bol objaviteľom neeuklidovskej geometrie a tým nabúral storočia jedinú teóriu o geometrickom priestore.
Bernard Bolzano
bol objaviteľom teórie množín. Aj keď teória množín prišla až na konci
doterajšieho vývoja matematiky, skôr zahrňuje úplný teoretický základ matematiky,
je čistou matematickou teóriou, nie aplikovanou matematikou. Teóriu množín
možno považovať za filozofický a logický základ celej matematiky. U Bolzana
možno rozpoznať rozdelenie nekonečna na potenciálne (počet, množstvo) a
aktuálne (hustota, rozloženie).
Veda sa zaoberá štúdiom samotného sveta, preto
ju zaujímajú iba objektívne javy, nikdy nie subjektívne. Jej úlohou je
cez subjektívne pozorovania preniknúť k objektívnym javom.
Bolzano vo svojej práci podal renesančný výklad sveta. Reálny priestor
je totožný s geometrickým priestorom a štruktúra reálneho času je totožná
so štruktúrou reálnych čísel. Bolzanov pohľad na teóriu množín je teologický,
hlavne čo sa týka nekonečna.
Ak si niečo neviem prestaviť, tak si pomôžem
prítomnosťou boha racionalistickej filozofie. Boh vie skonštruovať nekonečnú
množinu.
Na tomto mieste rozoberiem podrobnejšie tento problém, ako ho chápem ja. Je to znova prvotný metamatematický problém - vznik a existencia abstraktných vecí. Metamatematika má s metafyzikou spoločný spôsob riešenia problémov. Tam, kde ľudský rozum nestačí, pomôže existencia boha. Všeličo, čo si ľudia nevedia ináč racionálne vysvetliť, vysvetľujú prítomnosťou boha. Dokonca boh je stvoriteľom ľudí, sveta, všetkého.
V teórii množín je nutné vysvetliť vznik (konštrukciu) a existenciu každého jedného matematického pojmu, symbolu, pretože táto teória je prísne konštruktivistická. Aspoň načrtnem, o čo ide. V matematike potrebujeme plno premenných symbolov, prvkov, čísel. Ak je niečo prvkom, musí byť prvkom niečoho, prvkom množiny. Teda každý prvok môže existovať až vtedy, keď existuje množina, do ktorej patrí. Postačí aj súkromná množina pre jednotlivý prvok, ale to nie je dosť všeobecné pre celú teóriu. Potrebné je definovať množinu dosť všeobecne, nezávisle na konkrétnych prvkoch, čo ju tvoria. Prichádzajú do úvahy dva typy množín - prázdna a neprázdna. Prázdna množina neobsahuje ani jeden prvok (presnejšie to popíšem neskôr pri Cantorovi). Ako vieme, že existuje prázdna množina? Neprázdna množina obsahuje aspoň jeden prvok. Ako vznikne, ako ju možno skonštruovať a existuje vôbec? Neprázdnu množinu možno definovať tým, že obsahuje aspoň jeden prvok, ale každý prvok môže existovať až vtedy, keď existuje množina, do ktorej patrí. To by bola nekorektná definícia (kruhová definícia, blúdny kruh). Bolzano si na pomoc zavolal boha. Povedal, že boh vie skonštruovať nekonečnú množinu. Táto jediná nekonštruktivistická axióma postačuje pre celú jeho teóriu. Z nekonečnej množiny sa už dá vytvoriť aj jej každá podmnožina, teda aj každá konečná podmnožina, aj množina s jedným prvkom.
Zdá sa to veľmi jednoduché. Ale nie je. Nemôžem sa odvolať na boha hocikedy s hocičím. Mohol by som nevedome (alebo aj vedome) tvrdiť, že niečo existuje, lebo to vie boh vytvoriť, aj napriek tomu, že je to skutočne objektívne nemožné. Môžem tvrdiť, že 1+1=3 (v prirodzených číslach), lebo boh dokáže vytvoriť na to postup? Môžem tvrdiť, že neexistujem, lebo si boh vie predstaviť, že by som neexistoval? Môžem tvrdiť, že boh neexistuje, lebo len boh rozhoduje o svojej existencii a je to v jeho moci?
Ide o teologický svetonázor, všetko je podopierané vierou. Ak by som mal takú silnú vieru, že by som veril, že neexistujem, tak by to bola pravda. Odváži sa niekto tvrdiť, že má až takú silnú vieru? Naša ľudská viera stačí na to, aby sme verili, že boh vie skonštruovať nekonečnú množinu. Tomu aj skutočne veríme, lebo nekonečné množiny v matematike používame. Pôvodne som chcel povedať, že si musíme dať pozor, keď chceme použiť nekonštruktivistickú axiómu na základe viery v boha. Minimálne musíme skúmané tvrdenie (axiómu, definíciu, vetu) podrobiť dokazovaniu existencie a jednoznačnosti a potvrdiť štatistikou (praxou). Ak vytvoríme hlúposť, tak je to určite nesprávne použitie viery alebo slabá viera (zriedkavo). Nezabúdajme, že teória množín (tým možno aj celá matematika) je postavená na viere v boha, viere, že boh dokáže skonštruovať nekonečnú množinu. Možno sa raz ukáže, že to nebol správny predpoklad.
Ak so píše v evanjeliu podľa Jána, "Na počiatku bolo Slovo a Slovo bolo u Boha a to Slovo bol Boh", odvážim sa teraz vysloviť podobný výrok "Na počiatku bol symbol a tým symbolom bola množina".
Teória fuzzy množín - L. Zadech
sa zaoberal polomnožinami, ktoré sú vyjadrením prekrytia sa objektívneho
a subjektívneho javu. Pri každom prvku fuzzy množiny je daný stupeň jeho
náležania do nej.
Podobne je to s vedou. Ak prisúdime nedokonalosť
iba nášmu vnímaniu, potom objektívny reálny svet je dokonalý, jasný, do
ktorého iba my vidíme nedokonalo, nejasne.
George Cantor
rozvinul Bolzanovu teóriu množín. Cantor je považovaný za tvorcu teórie
množín, aj keď ju len po Bolzanovi rozvinul do dnešnej podoby. Teória množín
je doteraz najrevolučnejšou časťou matematiky, preto aspoň krátko ukážem,
o čo ide.
Cantor definoval univerzum množín, priestor, kde vznikajú a existujú
všetky množiny a ich prvky.
Univerzum množín
U je definované takto:
- prázdna množina patrí do U
- ak x,
y patria do U,
potom (x
zjednotené s {y})
patrí do U
Definícia prvku x
univerza množín U
alebo množiny y:
x je prvkom
U (alebo
množiny y)
práve vtedy, keď platí výroková forma, výraz matematickej logiky f(x),
čiže platí vlastnosť byť prvkom univerza množín
U (alebo
množiny y).
Pre všetky prvky univerza množín (pre všetky množiny)
platia konkrétne axiómy prepísané zo schémy axióm:
- axióma prázdnej množiny (existuje množina x
taká, že pre všetky množiny y
platí, že y
nie je prvkom x)
- axióma extenzionality
- axióma množinového nasledovníka
- axióma indukcie
V teórii množín je ešte plno axióm, defínicií a viet s dôkazmi, ktorými sa ďalej nebudem zaoberať. Teória množín obsahuje aj konštrukciu prirodzeného čísla, teda konštrukciu množiny všetkých prirodzených čísel - to bude asi tá nekonečná množina, čo u Bolzana vytvoril boh. Potom konštrukciu celého záporného čísla, teda konštrukciu množiny všetkých celých šísel. Neskôr racionálnych, reálnych a komplexných čísel.
von Neumann
vytvoril konštrukciu množiny všetkých prirodzených čísel takýmto kanonickým
modelom:
Existuje neprázdna nekonečná množina N
taká, že:
- prázdna množina patrí do N
- pre každý prvok (množinu) x
množiny N
platí, že (množina x
zjednotená s {x})
patrí do množiny N
- množina
x sa nerovná
množine x
zjednotenej s {x}
- množina x
nepatrí do množiny x
Potom každé prirodzené číslo sa vytvorí konštrukciou
podľa uvedeného modelu takto:
množina x
je prirodzené číslo práve vtedy, keď:
- pre každý prvok (množinu) y
patriaci do množiny x
platí, že množina y
je podmnožinou množiny x
- pre každé dva prvky (množiny) y,
z patriace
množine x
platí, že množina y
je prvkom množiny z
alebo množina z
je prvkom množiny y
alebo množina y
sa rovná množine z
Konštrukcia vyzerá takto:
0 = {}
1 = {{}}
2 = {{},{{}}}
3 = {{},{{}},{{},{{}}}}
...
Množina všetkých prirodzených čísel je zákonite
nekonečná. Podobným kanonickým modelom Neumann konštruoval celé a racionálne
čísla.